前書き
本書において、説明の語句が簡単でしかも明確なることを欲するとき、しばしば集合論の二三の記号を使用したい場合があるから、ここでそれらの意味を一応述べておく。
指定されたある特徴を有するもの、または指定されたある条件に適合するものの全体(ensemble)を一つの組(set)として考察するとき、それを集合といい、それら個々のものを集合の元素(または略して元という。集合を定義する特徴または条件によって、その集合の元素たるべきものの範囲が確定することが必要である1。
$a$なるものが集合$ M $の元素であることを、記号で$ a \in M $(または$ M \ni a $)と書く。
集合$ M $が、例えば三つの元$a,b,c$から成り立つとき、それを
\[
M=\{a,b,c\}
\]
で表す。また例えば
\[
M=\{1,2,3,\cdots \cdots \}
\]
のような略記法は、$\cdots \cdots$で示唆される元が何であるかが、明確なる時に限ること、勿論である。上の例では、$ M $はすべての自然数の集合たることが黙会されているのである。
また
\[
M=\{x;0 \lt x \lt 1 \}
\]
は、$0 \lt x \lt 1$なる数$x$の全部の集合を表す。$x$は一般的に$ M $の元を表し、「;」の次に$x$を規定する条件を記すのである。このように、集合を示すのに、括弧{}が慣用される。
集合$A,B$が相等しい($A=B$)というのは、$A,B$の元素が全体として全く同一なることを意味する。すなわち$x \in A$ならば$x \in B$で、かつ$x \in B$ならば$x \in A$。
[部分集合]
集合$A$の元が、すべて$B$の元となるとき、$A$を$B$の部分集合という。記号では、$A \subset B$ (または $B \supset A$ )。これは$A=B$をも含めていう。すなわち$B$自身をも$B$の部分集合の中に入れるのである。$A \subset B$で$A \not \supset B$ ($A \supset B$でないこと)なるとき、特に$A$を$B$の真の部分集合という。記号：$A \lt B$。
$A \subset B$でかつ$B \subset A$ならば、$A=B$。相異なる条件によって定義された集合$A,B$が、実は相等しいことが、しばしばこの原則によって証明される。すなわち$x \in A$ならば、$x \in B$なること。および逆に、$x \in B$ならば、$x \in A$なることが示されるとき、$A=B$が確定するのである。
$A \subset B, B \subset C$ならば、$A \subset C$。これは明白であろう。集合の包含関係の推移性である。
[共通分(交)]
一つの集合$ \Omega $の部分集合$ A,B $に共通なる元の全部は一つの集合を成す。それを$ A,B $の共通分(または交わり)という。記号:$ A_1 \supset D, A_2 \supset D,\cdots $なるときは、。実際
は$ A_1,A_2 \cdots $に共通なる元の全部を含むから、$ D $を含むのである。共通分は共通の部分集合の中で最大範囲のものである。
[合併集合(結)]
一つの集合$\Omega$の部分集合$A,B$の中の、少なくとも一つに含まれる元の全体は、一つの集合を成す。それを、$A,B$の合併集合(または結び)という。記号: $ A \vee B $。$A,B$のような集合が、いくつあっても同様。特に、$ A_n(n=1,2,\ldots) $の合併集合を$\bigvee_{n=1}^{\infty}A_n$とも書く。$A_1 \subset M, A_2 \subset M, \cdots$ならば、$A_1 \vee A_2 \vee \cdots \subset M.$ すなわち合併集合は$A_1,A_2,\cdots$を部分集合とするすべての集合の中で、最小範囲のもので、それらの共通分である。
$A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A_n \subset \cdots$なるとき、合併集合$M= \bigvee_{n=1}^{\infty}A_n$は、ある番号の$A_n$、従ってそれ以上の番号のすべての$A_n$に含まれる元の全体の集合である。例えば$A_n=\{1,2,\cdots,n\}$ならばは自然数全体の集合である。
[余集合]
余集合$A'$を$M-A$と書く。
$A,B$が$ M $の部分集合で、それの余集合を$A',B'$とするとき、
\[
A \subset B ならば \qquad A' \supset B'.
\]
実際、$x$を$ M $の元とするとき、$A \subset B$だから、$x \in A$ならば$x \in B$、対偶をいえば、$x \not \in B$ならば$x \not \in A$。すなわち$x \in B'$ならば$x \in A'$。すなわち$A' \supset B'$。
$M = A \vee B$で、$ M $に対する$A,B$の余集合を$A',B'$とすれば、$A' \subset B, B' \subset A.$------実際とすれば、$M = A_0 \vee B_0 \vee D = A \vee B_0 = A_0 \vee B$で、
故に$A' = B_0 \subset B, B' = A_0 \subset A.$
[対応、写像]
集合$A$の各元に、それぞれ$B$の一定の元$b=\varphi(a)$が、ある規準に従って対応するとき、この対応の関係$\varphi$を写像といい、$b$を$a$の像,$a$を$b$の原像という。詳しくは$B$の中への$A$の写像という。$B$の中へというのは、$B$の元の中に、$A$の元に対応しないものもあり得るからである。もしも$B$のすべての元が、$A$のある元に対応しているならば、$A$を$B$へ写像するという。$A$の一つの元$a$の像$b$は一つに限るが、一つの$b$の原像$a$は一つとは限らない。もしも、原像がすべてただ一つならば、すなわち$\varphi$が一対一の対応ならば、$b$を原像、$a$を像とする逆写像が成り立つ。それを$a=\varphi^{-1}(b)$で表す。$A$から$B$への写像$\varphi$において、$A$の部分集合$K$の元素の像の全体は$B$の部分集合を成す。それを$\varphi(K)$と略記する。
1-1対応の場合、余集合の写像に関して、$\varphi(A)'=\varphi(A').$
集合$A,B$の間に、1-1対応が成り立つとき、$A$は$B$に同等であるという。記号：$A \sim B$。
同等の関係には、数学の各所で、しばしば遭遇する。それは、次の三つの原則に従うものである。
[反射律]$A \sim A.$各元$a$に$a$を対応せしめる。いわゆる恒等対応によって、$A$が$A$に同等である。
[対象律]$A \sim B$ならば$B \sim A.$逆対応による。
[推移律]$A \sim B, B \sim C$ならば$A \sim C$。$A,B$の間の1-1対応を$b=\varphi(a)$,$B,C$の間のを$c=\psi(b)$とすれば、$a$によって$b$が定まり、従って$c$が定まるが、逆に$c$によって$b$が定まり、従って$a$が定まるから、$a$と$c$との間に1-1対応が成り立つのである。これは写像の結合である。即ち$c = \psi(\varphi(a)), a=\varphi^{-1}(\psi^{-1}(c)).$
集合$A$から$A$への写像を$A$の自己対応という。その場合、$A$に$A$の部分集合が対応して、$A$が$A$の部分集合と同等なることが可能である。例えば$A$が自然数$1,2,\cdots$の集合なる時、対応$n \to 2n$によって、$A$が$A$のなかへ写像され、自然数全体の集合と偶数の集合とが同等である。また対応$n \to n + 1$によっては、$A$は$A$の中へ写像されるが、全ての整数$0 \pm 1, \pm 2, \cdots$の集合ではそれ自身との間に1-1対応が生ずる、等々。
1.楽師のアンサンブル、家具のセットなどは、卑近ながら、能く集合の意味にかなっている。もしも、集合(Menge)が群集を連想させるならば、範囲不明確で、集合の意に適しない。↩
本文書は、高木貞治(1949)『数の概念』初版を、@tacmasiが新字新かなに改めたものです。
底本は初版第10刷(昭和33年2月15日)を使用しています。
